Для самостоятельной работы студентов. Задание 1. Даны два неколлинеарных вектора Построить векторы:

Задание 1. Даны два неколлинеарных вектора Построить векторы:

1.1. а) б) в) 1.2. а) б) в) 1.3. а) б) в) 1.4. а) б) в) 1.5. а) б) в) 1.6. а) б) в) 1.7. а) б) в) 1.8. а) б) в) 1.9. а) б) в) 1.10. а) б) в) 1.11. а) б) в) 1.12. а) б) в) 1.13. а) б) в) 1.14. а) б) в) 1.15. а) б) в) 1.16. а) б) в) 1.17. а) б) в) 1.18. а) б) в) 1.19. а) б) в) 1.20. а) б) в) 1.21. а) б) в) 1.22. а) б) в) 1.23. а) б) в) 1.24. а) б) в) 1.25. а) б) в) 1.26. а) б) в) 1.27. а) б) в) 1.28. а) б) в) 1.29. а) б) в) 1.30. а) б) в)

Задание2.Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

2.1. А(1;2;0), В(3;0;3). 2.6. А(0;6;4), В(3;5;3). 2.2. А(3;0;1), В(–1;2;0). 2.7. А(3;–1;2), В(1;2;–1). 2.3. А(1;3;–1), В(1;–1;3). 2.8. А(1;2;–1), В(–1;1;–3). 2.4. А(3;1;4), В(–1;6;1). 2.9. А(2;1;–1), В(3;0;1). 2.5. А(2;–1;2), В(1;2;–1). 2.10. А(3;–4;2), В(4;–2;0).

2.11.Доказатьколлинеарность векторов и . Установить, какой из них длиннее и во сколько раз и как они относительно друг друга направлены.

2.12. Определить, при каких значениях l и b векторы и коллинеарны.

2.13. Найти орт вектора .

2.14. Дан вектор . Найти вектор , противоположно направленный к вектору , если .

2.15. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , .

2.16. Векторы и являются сторонами ∆АВС. Определить координаты векторов, проведенных из вершин треугольника и совпадающих с его медианами .

2.17. В точке А(1; 3) приложена сила, проекции которой на оси координат равны:х = 3, у = 4. Определить конец вектора , изображающего силу и величину силы.

2.18. Даны три вершиныпараллелограмма: А(3;–4; 7), В(–5; 3; –2), С(1; 2; –3). Найти его четвертую вершину D, противоположную вершине В.

2.19. Доказать, что точки А(3; –1; 2),В(–1; 1; –3), С(1; 2; –1),D(3; –5; 3) являются вершинами трапеции. Найти длины ее параллельных сторон.

2.20. В точке А(–3; –2) приложена сила, проекция которой у = –1, а проекция х положительна. Определить конец вектора , изобра­жающего силу, если его величина равна .

2.21. Найти единичный вектор, перпендикулярный вектору и оси Оу.

2.22. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

2.23. Найти направляющие косинусы вектора, перпендикулярного к оси Оz и к вектору , проходящему через точки А(1;–1;4) и В(–3;2;4).

2.24. Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору , образует острый угол с осью Оx. Зная, что длина вектора , найти его координаты.

2.25. Дан равносторонний треугольник АВС, у которого длины сторон равны 1. Полагая, что , , ,вычислить выра­жение .

2.26. Найти единичный вектор, перпендикулярный к векторам и .

2.27. Даны силы , , , прило­женные к одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки В(5; 3; –7) в точку С(4; –1; –4).

2.28. На материальную точку действуют силы , , . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении из точки В(–2; 5;–1) в точку С(0; 0; –3).

2.29. Упростить выражение , если , , , где , , .

2.30. Определить, при каком значении l векторы и будут взаимно перпендикулярны, если , , .

Задание 3. Разложить аналитически и геометрически вектор по векторам

3.1. 3.16. 3.2. 3.17. 3.3. 3.18. 3.4. , 3.19. 3.5. , , 3.20. 3.6. , 3.21. 3.7. , 3.22. 3.8. . 3.23. 3.9. , 3.24. 3.10. 3.25. 3.11. 3.26. 3.12. 3.27. 3.13. 3.28. 3.14. 3.29. 3.15. 3.30.

Задание 4.Вычислить длины векторов угол между ними и проекцию .

4.11. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если , и угол между ними .

4.12. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где и – единичные векторы, угол между которыми 60 о .

4.13. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

4.14. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

4.15. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный к другому сомножителю.

4.16. Вычислить, какую работу производит сила , когда точка ее приложения перемещается прямолинейно из точки А(2;–3; 5) в точку В(3; –2; –1).

4.17. Силы , , приложены к одной точке. Вычислить величину и направляющие косинусы равнодействующей.

4.18. Найти единичный вектор, перпендикулярный к вектору и к оси Ох.

4.19. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

4.20. В плоскости хОу найти вектор , перпендикулярный к вектору ,имеющий одинаковую с ним длину.

4.21. На плоскости хОу построить радиус-векторы , и . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам .

4.22. Разложить вектор по векторам и аналитически и геометрически.

4.23. Разложить вектор по векторам и аналитически и геометрически.

4.24. Вектор разложить по векторам и аналитически и геометрически.

4.25. Найти разложение вектора по векторам и аналитичес­ки и геометрически: , , .

4.26. Разложить вектор по векторам и аналитически и геометрически: , , .

4.27. Разложить вектор по векторам и аналитически и гео­метрически: , , . Будут ли векторы линейно зависимы?

Задание5.Сила приложена к вершине А треугольника АВС. Вычислить работу силы по сторонам АВ и АС, момент силы относительно середины стороны ВС.

5.1. А(1; –2; 3); В(0; –1; 2); С(2; –3; 6); (1; 0; 3). 5.2. А(6; 0; –5); В(3; 4; 1); С(1; –2; 1); (2; 3; 7). 5.3. А(2; –1; 5); В(7; 2; 1); С(3; 0; 1); (8; 0; 1). 5.4. А(0; 3; –5); В(7; 8; –4); С(1; 2; –2); (5; –1; 2). 5.5. А(–1; 3; 0); В(6; 5; –2); С(0; 1; 2); (2; 1; 3). 5.6. А(5; 2; –1); В(3; 0; 4); С(1; 2; –2); (1; 3; –5). 5.7. А(3; 1; 4); В(–2; 4; 6); С(6; 0; 10); (1; 4; 0). 5.8. А(6; 2; 0); В(–4; 10; 5); С(–2; 6; 9); (3; 2; 4). 5.9. А(3; 2; –1); В(5; 3; 3); С(1; 10; 5); (5; 1; 2). 5.10. А(2; 0; 8); В(4; 5; –2); С(6; 3; 0); (1; 7; –3).

Вычислить площадь треугольника АВС; длину высоты, про­веденной из вершины В; угол ВАС; .

5.11. А(3;2;1); B(6;2;5); C(–1;2;1). 5.12. A(1;3;–1); B(2;0;4); C(1;5;–2). 5.13. A(2;0;3); B(1;1;2); C(3;1;4). 5.14. A(1;2;3); B(2;1;–3); C(3;0;4). 5.15. A(1;–2;0); B(5;4;1); C(1;–1;–1). 5.16. A(0;1;2); C(–1;3;2); C(3;3;1). 5.17. A(2;1;3); B(–1;2;0); C(3;2;5). 5.18. A(5;3;2); B(4;1;0); C(8;4;3). 5.19. A(2;0;–1); B(3;4;–1); C(2;1;0). 5.20. A(5;–2;1); B(2;–1;6); C(6;1;3).

Диагонали параллелограмма лежат на векторах и . Вычислить площадь и меньшую высоту параллелограмма.

5.21. 3, 1, . 5.26. 4, 4, . 5.22. 5.27. 7, 7, . 5.23. 5.28. 5.24. 7, 2, . 5.29. 5.25. 1, 3, . 5.30.

Задание6.Проверить, лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскос­ти?

6.1. А(1;–2;3), В(1;0;–1), С(3;2;4), D(0; –2; 1). 6.2. А(3;0;–1), В(2;1;4), С(5;2;–2), D(–1; –4; 1). 6.3. А(2;1;–5), В(3;0;1), С(–2;7;1), D(4; 3; 1). 6.4. А(5;1;–1), В(4;1;2), С(0;3;–5), D(3; 2; 1). 6.5. А(6;3;–2), В(0;2;5), С(3;4;1), D(0; 5; 4). 6.6. А(1;5;2), В(–3;1;1), С(7;9;0), D(1; 2; –3). 6.7. А(4;2;–1), В(3;1;6), С(–2;5;–4), D(8; 0; 1). 6.8. А(2;1;5), В(0;11;2), С(3;8;1), D(6; 2; 7). 6.9. А(3;2;1), В(–1;2;0), С(3;5;–2), D(11; 2; 3). 6.10. А(2;6;3), В(0; –3;5), С(7; 2;–1), D(–3; 10; 7).

Вершины тетраэдра расположены в точках А, В, С, D. Вычислить его объем и высоту, опущенную из вершины А на грань ВСD.

6.11. А(–1; 0; 5), В(1; 2; –1), С(0; 2; 2), D(–1;0;2). 6.12. А(–5; 4; 8), В(2; 3; 1), С(4; 1; –2), D(6;3;7). 6.13. А(2; –4; 5), В(–1; 3; 4), С(5; 5; –1), D(1;–2;2). 6.14. А(0; 0; 0), В(3; 4; –1), С(2;3; 5), D(6;0;–3). 6.15. А(3; 2; –6), В(4; –1; 3), С(–2; 1; 0), D(0;–5;1). 6.16. А(3; 4; 5), В(–1; 2; –3), С(4; –1; 0), D(2;1;–2). 6.17. А(7; 5; –3), В(2; 3; 1), С(4; 1; –2), D(6;3;7). 6.18. А(–4; 3; –12), В(1; 5; –7), С(–3; 6; 3), D(–2;7;3). 6.19. А(8; 4; –9), В(1; 2; 0), С(3; 0; –3), D(5;2;6). 6.20. А(–1; 0; –2), В(1; 1; 2), С(–1; 1; 3), D(2;–2;4).

Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , и его высоту, опущенную на грань, лежащую на векторах , .